Упр.23.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: a) система sin x + cos у = -1/2, и sin x cos y = -1/2 6) система sin — — cos 2y = 1, и 2 sin2 x/2 — 3 cos 2y = 2.

1. Решим систему

   $$ \begin{cases} \sin x+\cos y=-\dfrac12,\\ \sin x\cdot \cos y=-\dfrac12. \end{cases} $$

   Обозначим $$a=\sin x$$, $$b=\cos y$$. Тогда

   $$ \begin{cases} a+b=-\dfrac12,\\ ab=-\dfrac12. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$b=-\dfrac12-a$$. Подставим во второе:

   $$ a\left(-\dfrac12-a\right)=-\dfrac12 $$
   $$ -\dfrac a2-a^2=-\dfrac12 $$
   $$ 2a^2+a-1=0. $$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$ D=1+8=9, $$
   $$ a_{1,2}=\dfrac{-1\pm 3}{4}. $$

   Получаем:

   $$ a_1=-1,\qquad a_2=\dfrac12. $$

   Тогда

   $$ b_1=-\dfrac12-(-1)=\dfrac12,\qquad b_2=-\dfrac12-\dfrac12=-1. $$

   1) Если $$\sin x=-1$$ и $$\cos y=\dfrac12$$, то

   $$ x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

   2) Если $$\sin x=\dfrac12$$ и $$\cos y=-1$$, то

   $$ x=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=\pi+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

2. Решим систему

   $$ \begin{cases} \sin \dfrac x2-\cos 2y=1,\\ 2\sin^2 \dfrac x2-3\cos 2y=2. \end{cases} $$

   Обозначим $$a=\sin \dfrac x2$$, $$b=\cos 2y$$. Тогда

   $$ \begin{cases} a-b=1,\\ 2a^2-3b=2. \end{cases} $$

   Из первого уравнения $$b=a-1$$. Подставим во второе:

   $$ 2a^2-3(a-1)=2 $$
   $$ 2a^2-3a+1=0. $$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$ D=9-8=1, $$
   $$ a_{1,2}=\dfrac{3\pm 1}{4}. $$

   Получаем:

   $$ a_1=\dfrac12,\qquad a_2=1. $$

   Тогда

   $$ b_1=\dfrac12-1=-\dfrac12,\qquad b_2=1-1=0. $$

   1) Если $$\sin \dfrac x2=\dfrac12$$ и $$\cos 2y=-\dfrac12$$, то

   $$ x=(-1)^n\dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

   2) Если $$\sin \dfrac x2=1$$ и $$\cos 2y=0$$, то

   $$ x=\pi+4\pi n,\qquad y=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ \left((-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n;\ \pi+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left((-1)^n\dfrac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k\right),\ \left(\pi+4\pi n;\ \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$