Упр.23.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему уравнений: a) система 2sin x — 5cos у = 7 и 5sin x + cos у = 4 б) система 5sin 2x + 3cos y = 1 и 8sin 2x — 6 cos 3y = 7.

а) Обозначим $$a=\sin x,$$ $$b=\cos y.$$ Тогда система принимает вид

$$ \begin{cases} 2a-5b=7,\\ 5a+b=4. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $$b$$:

$$b=4-5a.$$

Подставим в первое уравнение:

$$ 2a-5(4-5a)=7 $$

$$ 2a-20+25a=7 $$

$$ 27a=27 $$

$$ a=1. $$

Тогда

$$ b=4-5\cdot 1=-1. $$

Следовательно,

$$ \sin x=1,\qquad \cos y=-1. $$

Отсюда

$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad y=\pi+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z. $$

б) Обозначим $$a=\sin 2x,$$ $$b=\cos 3y.$$ Тогда

$$ \begin{cases} 5a+3b=1,\\ 8a-6b=7. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$2$$:

$$ 10a+6b=2. $$

Сложим его со вторым уравнением:

$$ 18a=9, $$

откуда

$$ a=\frac12. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 5\cdot \frac12+3b=1 $$

$$ \frac52+3b=1 $$

$$ 3b=-\frac32 $$

$$ b=-\frac12. $$

Значит,

$$ \sin 2x=\frac12,\qquad \cos 3y=-\frac12. $$

Тогда

$$ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z, $$

то есть

$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. $$

А для $$\cos 3y=-\frac12$$ получаем

$$ 3y=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z, $$

следовательно,

$$ y=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}. $$

Ответ

а) $$\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left((-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2};\ \pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$