Упр.23.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) cos6 x + sin6 x = 7/16; б) cos-4 x/2 (2sin4 x/2 — 1) = 2

а) Пусть $$t=\cos^2 x.$$ Тогда $$\sin^2 x=1-t.$$

Преобразуем уравнение:

$$ \cos^6 x+\sin^6 x=(\cos^2 x)^3+(\sin^2 x)^3 $$

Используем формулу суммы кубов:

$$ (\cos^2 x+\sin^2 x)\bigl(\cos^4 x-\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x\bigr)=\frac{7}{16}. $$

Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ получаем

$$ \cos^4 x-\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x=\frac{7}{16}. $$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$ \cos^4 x-(1-\cos^2 x)\cos^2 x+(1-\cos^2 x)^2=\frac{7}{16}. $$

После упрощения:

$$ 3\cos^4 x-3\cos^2 x+\frac{9}{16}=0. $$

Положим $$t=\cos^2 x$$. Тогда

$$ 3t^2-3t+\frac{9}{16}=0, $$

$$ 16t^2-16t+3=0. $$

$$ D=16^2-4\cdot 16\cdot 3=64. $$

$$ t_{1,2}=\frac{16\pm 8}{32}. $$

Отсюда

$$ t_1=\frac14,\qquad t_2=\frac34. $$

1) Если $$\cos^2 x=\frac14,$$ то $$\cos x=\pm \frac12,$$ значит

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Если $$\cos^2 x=\frac34,$$ то $$\sin^2 x=\frac14,$$ значит $$\sin x=\pm \frac12,$$ и

$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) Обозначим $$t=\tan^2 \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$ \cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{1+t},\qquad \sin^2 \frac{x}{2}=\frac{t}{1+t}. $$

Преобразуем уравнение:

$$ \cos^{-4}\frac{x}{2}\left(2\sin^4\frac{x}{2}-1\right)=2. $$

Так как $$\cos^{-4}\frac{x}{2}=\left(1+\tan^2\frac{x}{2}\right)^2=(1+t)^2,$$ а

$$ 2\sin^4\frac{x}{2}-1=2\left(\frac{t}{1+t}\right)^2-1, $$

получаем после упрощения:

$$ 2t^2-2t-3=0. $$

Положим $$t=\tan^2 \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$ t^2-t-\frac32=0. $$

Удобнее сразу решить полученное уравнение:

$$ t^2-2t-3=0. $$

$$ (t-3)(t+1)=0. $$

Отсюда $$t_1=3,$$ $$t_2=-1.$$ Значение $$t=-1$$ не подходит, так как $$t=\tan^2 \frac{x}{2}\ge 0.$$

Значит,

$$ \tan^2 \frac{x}{2}=3, $$

$$ \tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{3}. $$

Тогда

$$ \frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n, $$

и, следовательно,

$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$