Упр.23.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin2 x — 5 cos x = sin x cos x — 5 sin x; 6) cos2 x — 7 sin x + sin x cos x = 7 cos x.

а) $$\sin^2 x-5\cos x=\sin x\cos x-5\sin x$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$\sin^2 x-\sin x\cos x+5\sin x-5\cos x=0$$

$$\sin x(\sin x-\cos x)+5(\sin x-\cos x)=0$$

$$(\sin x+5)(\sin x-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x+5=0 \quad \text{или} \quad \sin x-\cos x=0$$

Уравнение $$\sin x+5=0$$ не имеет решений, так как $$\sin x\in[-1;1]$$.

Решаем второе:

$$\sin x=\cos x$$

$$\tg x=1$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos^2 x-7\sin x+\sin x\cos x=7\cos x$$

Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

$$\cos^2 x+\sin x\cos x-7\cos x-7\sin x=0$$

$$\cos x(\cos x+\sin x)-7(\cos x+\sin x)=0$$

$$(\cos x-7)(\cos x+\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-7=0 \quad \text{или} \quad \cos x+\sin x=0$$

Уравнение $$\cos x-7=0$$ не имеет решений, так как $$\cos x\in[-1;1]$$.

Решаем второе:

$$\cos x+\sin x=0$$

$$1+\tg x=0$$

$$\tg x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.