Упр.23.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 4sin2 x/2 — 3 = 2sin x/2 cos x/2 б) 3sin2 x/3 + 4cos2 x/3 = 3 + корень3 sin x/3 cos x/3

Подробный ответ

а) Преобразуем уравнение:
$$4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$
$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin^2\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$
$$\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0.$$
Делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:
$$\tg^2\frac{x}{2}-2\tg\frac{x}{2}-3=0.$$
Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
$$y^2-2y-3=0,$$
$$\left(y-3\right)\left(y+1\right)=0.$$
Отсюда $$y=3$$ или $$y=-1$$.
Тогда
$$\tg\frac{x}{2}=3 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctg 3+\pi n \Rightarrow x=2\arctg 3+2\pi n,$$
$$\tg\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
где $$n\in\mathbb{Z}$$.
б) Преобразуем уравнение:
$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$$
$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}-3\sin^2\frac{x}{3}-3\cos^2\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0,$$
$$\cos^2\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0.$$
Вынесем общий множитель:
$$\cos\frac{x}{3}\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\right)=0.$$
Отсюда:
$$\cos\frac{x}{3}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}=0.$$
1) Если $$\cos\frac{x}{3}=0$$, то
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n.$$
2) Если $$\cos\frac{x}{3}-\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}=0$$, то
$$\tg\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+3\pi n.$$
где $$n\in\mathbb{Z}$$.