Упр.23.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3 sin2 2x — 2 = sin 2x cos 2x; б) 2 sin2 4x — 4 = 3 sin 4x cos 4x — 4 cos2 4x.
а) $$3\sin^2 2x-2=\sin 2x\cos 2x$$
Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\tg 2x$$:
$$3\sin^2 2x-\sin 2x\cos 2x-2\cos^2 2x=0$$
Так как $$\cos 2x\neq 0$$, разделим уравнение на $$\cos^2 2x$$:
$$3\tg^2 2x-\tg 2x-2=0$$
Пусть $$y=\tg 2x$$. Тогда
$$3y^2-y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{6}$$
$$y_1=-\frac{2}{3},\quad y_2=1$$
Возвращаемся к $$\tg 2x$$:
$$\tg 2x=-\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad \tg 2x=1$$
Отсюда
$$2x=\arctg\!\left(-\frac{2}{3}\right)+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac12\arctg\!\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$
б) $$2\sin^2 4x-4=3\sin 4x\cos 4x-4\cos^2 4x$$
Перенесём всё в левую часть:
$$2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x+4\cos^2 4x-4=0$$
Так как $$4\cos^2 4x-4=-4\sin^2 4x$$, получаем:
$$-2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x=0$$
Вынесем общий множитель:
$$\sin 4x\,(2\sin 4x+3\cos 4x)=0$$
Тогда
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 4x+3\cos 4x=0$$
1) $$\sin 4x=0$$, значит
$$4x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$
2) $$2\sin 4x+3\cos 4x=0$$, тогда
$$\tg 4x=-\frac{3}{2}$$
$$4x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac14\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\frac12\arctg\!\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac14\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z$$.
