Упр.23.2 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 6 cos2 x + cos x — 1 = 0 б) 2 cos2 Зх — 5 cos 3x — 3 = 0 в) 2 cos2 x — cos x — 3 = 0 г) 2 cos2 x/3 + 3 cos x/3 — 2 = 0

1. $$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$6y^2+y-1=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12}$$
   $$y_1=\frac13,\qquad y_2=-\frac12$$

   Тогда:

   $$\cos x=\frac13 \Rightarrow x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
   $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2. $$2\cos^2 3x-5\cos 3x-3=0$$

   Положим $$y=\cos 3x$$. Тогда:

   $$2y^2-5y-3=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}$$
   $$y_1=-\frac12,\qquad y_2=3$$

   Значение $$y_2=3$$ не подходит, так как $$\cos 3x\in[-1;1]$$. Остаётся:

   $$\cos 3x=-\frac12$$
   $$3x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
   $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

3. $$2\cos^2 x-\cos x-3=0$$

   Положим $$y=\cos x$$. Тогда:

   $$2y^2-y-3=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
   $$y_1=-1,\qquad y_2=\frac32$$

   Значение $$y_2=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$. Поэтому:

   $$\cos x=-1$$
   $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4. $$2\cos^2 \frac{x}{3}+3\cos \frac{x}{3}-2=0$$

   Положим $$y=\cos \frac{x}{3}$$. Тогда:

   $$2y^2+3y-2=0$$
   $$D=9+16=25$$
   $$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$
   $$y_1=-2,\qquad y_2=\frac12$$

   Значение $$y_1=-2$$ не подходит, так как $$\cos \frac{x}{3}\in[-1;1]$$. Остаётся:

   $$\cos \frac{x}{3}=\frac12$$
   $$\frac{x}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
   $$x=\pm \pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \ x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\pm \pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$