Упр.23.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 5 sin2 x + корень3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5; б) 2 sin2 x — 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 4.

Подробный ответ

а) $$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5.$$

Перенесём $$5$$ в левую часть и воспользуемся тождеством $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x-5=0$$
$$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x-5\sin^2 x-5\cos^2 x=0$$
$$\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$
$$\cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=0.$$

1) $$\cos x=0,$$ тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0.$$ Делим на $$\cos x$$:

$$\sqrt{3}\tg x+1=0,$$
$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4.$$

Перенесём $$4$$ в левую часть и заменим $$4$$ на $$4\sin^2 x+4\cos^2 x$$:

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4=0$$
$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4\sin^2 x-4\cos^2 x=0$$
$$-2\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$
$$\sin x(2\sin x+3\cos x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0,$$ тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\sin x+3\cos x=0.$$ Делим на $$\cos x$$:

$$2\tg x+3=0,$$
$$\tg x=-\frac{3}{2},$$
$$x=-\arctg\frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$