Упр.23.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 5 sin2 x — 14 sin x cos x — 3 cos2 x = 2; б) 3 sin2 x — sin x cos x = 2; в) 2 cos2 x — sin x cos x + 5 sin2 x = 3; г) 4 sin2 x — 2 sin x cos x = 3.

1. $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x=2$$

   Перенесём $$2$$ в левую часть и выразим через $$\cos^2 x$$:

   $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x-2=0$$

   $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$3\sin^2 x-14\sin x\cos x-5\cos^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$3\tg^2 x-14\tg x-5=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$3t^2-14t-5=0$$

   $$D=14^2+4\cdot 3\cdot 5=256$$

   $$t_{1,2}=\frac{14\pm 16}{6}$$

   $$t_1=-\frac13,\quad t_2=5$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg\frac13+\pi n$$

   $$\tg x=5 \Rightarrow x=\arctg 5+\pi n$$

2. $$3\sin^2 x-\sin x\cos x=2$$

   $$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2=0$$

   $$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-\tg x-2=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-t-2=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=2$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n$$

3. $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x=3$$

   $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3=0$$

   $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$2\sin^2 x-\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg^2 x-\tg x-1=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$2t^2-t-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

   $$t_1=-\frac12,\quad t_2=1$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-\frac12 \Rightarrow x=-\arctg\frac12+\pi n$$

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

4. $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3$$

   $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3=0$$

   $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-2t-3=0$$

   $$D=4+12=16$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=3$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   $$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n$$

Ответ

а) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\arctg\frac12+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.