Упр.23.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin 2x = cos 2x; 6) корень3 sin 3x = cos 3x; в) sin x/2 = корень3 cos x/2; г) корень2 sin 17x = корень6 cos 17x.

1. а) $$\sin 2x=\cos 2x$$

   Разделим обе части на $$\cos 2x$$:

   $$\tg 2x=1$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\sqrt3\sin 3x=\cos 3x$$

   Разделим обе части на $$\cos 3x$$:

   $$\sqrt3\,\tg 3x=1$$

   $$\tg 3x=\frac{1}{\sqrt3}$$

   Тогда

   $$3x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\sin \frac{x}{2}=\sqrt3\cos \frac{x}{2}$$

   Разделим обе части на $$\cos \frac{x}{2}$$:

   $$\tg \frac{x}{2}=\sqrt3$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$\sqrt2\sin 17x=\sqrt6\cos 17x$$

   Разделим обе части на $$\cos 17x$$:

   $$\sqrt2\,\tg 17x=\sqrt6$$

   $$\tg 17x=\sqrt3$$

   Тогда

   $$17x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\ n\in\mathbb Z$$.