Упр.23.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin2 x + 2 sin x cos x — 3 cos2 x = 0; б) sin2 x — 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0; в) sin2 x + sin x cos x — 2 cos2 x = 0; r) 3 sin2 x + sin x cos x — 2 cos2 x = 0.
Во всех пунктах удобно разделить уравнение на $$\cos^2 x$$. При этом нужно учитывать, что $$\cos x \ne 0$$, а значения $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ не подходят, так как в исходных уравнениях они не обращают левую часть в нуль.
$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+2t-3=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-3,\quad t_2=1.$$
Значит,
$$\tg x=-3 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$
Отсюда
$$x=-\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0,$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=4,$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=1,\quad t_2=3.$$
Значит,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=3.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+t-2=0,$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-2,\quad t_2=1.$$
Значит,
$$\tg x=-2 \quad \text{или} \quad \tg x=1.$$
Отсюда
$$x=-\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$3\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$3t^2+t-2=0,$$
$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}.$$
Получаем:
$$t_1=-1,\quad t_2=\frac{2}{3}.$$
Значит,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{2}{3}.$$
Отсюда
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac{2}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
