Упр.23.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin2 x + sin x cos x = 0; б) корень3 sin x cos x + cos2 x = 0; в) sin2 x = 3 sin x cos x; г) корень3 cos2 x = sin x cos x.

1. $$\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$

   $$\sin x(\sin x+\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sqrt3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

   $$\cos x(\sqrt3\sin x+\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\sin x+\cos x=0.$$

   1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sqrt3\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-\frac{1}{\sqrt3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin^2 x=3\sin x\cos x$$

   $$\sin x(\sin x-3\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin x-3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sqrt3\cos^2 x=\sin x\cos x$$

   $$\cos x(\sqrt3\cos x-\sin x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt3\cos x-\sin x=0.$$

   1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sqrt3\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=\sqrt3 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
б) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$