Упр.23.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin x = 3/4 cos x; б) 3 sin x = 2 cos x; в) 2 sin x + 5 cos x = 0; г) sin x cos x — 3 cos2 x = 0.

1. а) $$\sin x=\frac{3}{4}\cos x$$

   Так как $$\cos x\neq 0$$, разделим обе части на $$\cos x$$:

   $$\tg x=\frac{3}{4}$$

   Отсюда

   $$x=\arctg \frac{3}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. б) $$3\sin x=2\cos x$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$3\tg x=2$$

   $$\tg x=\frac{2}{3}$$

   Следовательно,

   $$x=\arctg \frac{2}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. в) $$2\sin x+5\cos x=0$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$2\tg x+5=0$$

   $$2\tg x=-5$$

   $$\tg x=-\frac{5}{2}$$

   Тогда

   $$x=-\arctg \frac{5}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

   Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

   $$\cos x(\sin x-3\cos x)=0$$

   Отсюда либо

   $$\cos x=0,$$

   тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

   либо

   $$\sin x-3\cos x=0,$$

   то есть

   $$\tg x=3,$$

   и значит

   $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\arctg \frac{3}{4}+\pi n$$; б) $$x=\arctg \frac{2}{3}+\pi n$$; в) $$x=-\arctg \frac{5}{2}+\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$