Упр.23.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) tg x sin 2x = 0; б) (1+cosx)(1/sinx — 1) = 0 в) cos x tg 3x = 0; г) (1+cosx)tgx/2 = 0

Подробный ответ

а) $$\tg x\cdot \sin 2x=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$
$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$
Но при $$x=\frac{\pi n}{2}$$ значения с нечётным $$n$$ не подходят, так как $$\tg x$$ не определён при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$. Остаются только
$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
б) $$\left(1+\cos x\right)\left(\frac{1}{\sin x}-1\right)=0$$
Рассмотрим каждый множитель:
$$1+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$
$$\frac{1}{\sin x}-1=0 \Rightarrow \frac{1-\sin x}{\sin x}=0 \Rightarrow \sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Но выражение определено только при $$\sin x\ne 0$$, что выполнено для найденных значений.
Из двух семейств решений подходит только
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
в) $$\cos x\cdot \tg 3x=0$$
Тогда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=0.$$
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$\tg 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}.$$
Проверим область определения: $$\tg 3x$$ существует при $$\cos 3x\ne 0$$. Для $$x=\frac{\pi n}{3}$$ это условие выполняется, а значения $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ не входят в этот набор.
Следовательно,
$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z.$$
г) $$\left(1+\cos x\right)\tg \frac{x}{2}=0$$
Получаем:
$$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \tg \frac{x}{2}=0.$$
$$1+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$
$$\tg \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$
Но при $$x=\pi+2\pi n$$ тангенс $$\tg \frac{x}{2}$$ не определён, поэтому эти значения не подходят. Остаются
$$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$