Упр.23.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 3 sin2 x — 5 sin x — 2 = 0; б) 3 sin2 2x + 10 sin 2x + 3 = 0; в) 4 sin2 x + 11 sin x — 3 = 0; г) 2 sin2 x/2 — 3 sin x/2 + 1 = 0.

1. $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

   $$3y^2-5y-2=0$$

   $$D=25+24=49$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$

   $$y_1=-\frac13,\quad y_2=2$$

   Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, значение $$y_2=2$$ не подходит.

   Остаётся

   $$\sin x=-\frac13$$

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$3\sin^2 2x+10\sin 2x+3=0$$

   Пусть $$y=\sin 2x$$. Тогда

   $$3y^2+10y+3=0$$

   $$D=100-36=64$$

   $$y_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6}$$

   $$y_1=-3,\quad y_2=-\frac13$$

   Значение $$y_1=-3$$ не подходит, поэтому

   $$\sin 2x=-\frac13$$

   $$2x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$4\sin^2 x+11\sin x-3=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

   $$4y^2+11y-3=0$$

   $$D=121+48=169$$

   $$y_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{8}$$

   $$y_1=-3,\quad y_2=\frac14$$

   Значение $$y_1=-3$$ не подходит, поэтому

   $$\sin x=\frac14$$

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$2\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}+1=0$$

   Пусть $$y=\sin\frac{x}{2}$$. Тогда

   $$2y^2-3y+1=0$$

   $$D=9-8=1$$

   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

   $$y_1=\frac12,\quad y_2=1$$

   1) Если $$\sin\frac{x}{2}=\frac12$$, то

   $$\frac{x}{2}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) Если $$\sin\frac{x}{2}=1$$, то

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   $$x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.