Упр.22.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) sinx=-корень3/2 б) sinx=-корень2/2 в) sinx=-1 г) sinx=-1/2

1. $$\left(2\cos x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt3\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$2\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt3=0.$$

   1) $$2\cos x+1=0$$

   $$\cos x=-\frac12,$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\sin x-\sqrt3=0$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2},$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos x-3\sin x\cdot \cos x=0$$

   Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

   $$\cos x\left(2-3\sin x\right)=0.$$

   Тогда

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2-3\sin x=0.$$

   1) $$\cos x=0$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2-3\sin x=0$$

   $$\sin x=\frac23,$$

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$4\sin^2 x-3\sin x=0$$

   Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

   $$\sin x\left(4\sin x-3\right)=0.$$

   Тогда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin x-3=0.$$

   1) $$\sin x=0$$

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$4\sin x-3=0$$

   $$\sin x=\frac34,$$

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$2\sin^2 x-1=0$$

   $$2\sin^2 x=1,$$

   $$\sin^2 x=\frac12,$$

   $$\sin x=\pm \frac{1}{\sqrt2}=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

   1) $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Объединяя оба семейства решений, получаем:

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi n,\; x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$