Упр.22.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) sinx=корень3/2 б) sinx=корень2/2 в) sinx=1 г) sinx=1/2

Используем общее решение уравнения вида $$\sin x = a$$:

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

1. $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Тогда

   $$x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Тогда

   $$x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

3. $$\sin x = 1$$

   Так как $$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2},$$ получаем

   $$x = (-1)^n \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

   Это можно записать и в более привычном виде:

   $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

4. $$\sin x = \frac{1}{2}$$

   Так как $$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6},$$ имеем

   $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$;
б) $$x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$;
в) $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$;
г) $$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$.