Упр.22.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке: а) cos x = 1/3, x принадлежит [1; 6]; б) cosx = -0,4, x принадлежит [3; 11]?
Используем общую формулу решений уравнения $$\sin x = a$$:
$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$
$$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi n$$
Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3},$$ то
$$x = (-1)^n\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n.$$
$$\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n$$
Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4},$$ то
$$x = (-1)^n\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n.$$
$$\sin x = -1$$
Решение:
$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$
$$\sin x = -\frac{1}{2}$$
$$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n$$
Так как $$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6},$$ то
$$x = (-1)^n\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n.$$
Ответ
а) $$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z};$$
б) $$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z};$$
в) $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z};$$
г) $$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$
