Упр.22.69 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет данное уравнение на данном межутке: а) 2 + ctg2 x = (sin х)-2 + cos 4x, x принадлежит [-Пи; 3Пи/2] б) tg2 x = (cos х)-2 + sin 3х, x принадлежит (-0,5Пи; 2Пи]?

а) Рассмотрим неравенство $$a\cos x-2<0.$$

Оно равносильно

$$\cos x<\frac{2}{a}.$$

Чтобы это неравенство было верно при любом $$x,$$ правая часть должна быть не меньше наибольшего значения функции $$\cos x,$$ то есть

$$\frac{2}{a}>1.$$

Если $$a>0,$$ то

$$2>a.$$

Если $$a<0,$$ то неравенство $$\frac{2}{a}>1$$ невозможно, так как левая часть отрицательна. Значит, остаётся

$$0<a<2.$$

Но при $$a<0$$ исходное неравенство можно переписать как $$\cos x>\frac{2}{a},$$ и для его выполнения при всех $$x$$ нужно, чтобы

$$\frac{2}{a}<-1.$$

Тогда

$$2>-a,\qquad -2<a<0.$$

Объединяя оба случая, получаем

$$-2<a<2.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(2a-3\right)\sin x+1\ge 0.$$

Оно равносильно

$$\left(2a-3\right)\sin x\ge -1.$$

Если $$2a-3>0,$$ то

$$\sin x\ge -\frac{1}{2a-3}.$$

Чтобы это было верно при любом $$x,$$ нужно

$$-\frac{1}{2a-3}\le -1,$$

откуда

$$\frac{1}{2a-3}\ge 1,$$

$$2a-3\le 1,$$

$$a\le 2.$$

С учётом условия $$2a-3>0$$ получаем

$$\frac{3}{2}<a\le 2.$$

Если $$2a-3<0,$$ то при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$\sin x\le -\frac{1}{2a-3}.$$

Чтобы это было верно при любом $$x,$$ нужно

$$-\frac{1}{2a-3}\ge 1,$$

откуда

$$\frac{1}{2a-3}\le -1,$$

$$2a-3\ge -1,$$

$$a\ge 1.$$

С учётом условия $$2a-3<0$$ получаем

$$1\le a<\frac{3}{2}.$$

Объединяя результаты, имеем

$$1\le a\le 2.$$

Ответ

а) $$-2<a<2$$; б) $$1\le a\le 2$$.