Упр.22.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему неравенств: а) система sin2x < 1/2 и 25-x2 > =0 б) система cos(3x-Пи/4) < корень2/2 и |x+2| < 3

Подробный ответ

$$\sin x\cdot \sqrt{4-x^2}\le 0$$
Чтобы произведение было неположительным, достаточно рассмотреть случаи:
1) $$\sin x\le 0,$$ тогда
$$-\pi+2\pi n\le x\le 2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sqrt{4-x^2}=0,$$ то есть
$$4-x^2=0,\quad x=\pm 2.$$
Но выражение имеет смысл только при
$$4-x^2\ge 0,\quad -2\le x\le 2.$$
Точка $$x=2$$ подходит, а $$x=-2$$ уже входит в промежуток из пункта 1.
Итак, решение первого неравенства:
$$-2\le x\le 0,\quad x=2.$$
$$\cos x\cdot \sqrt{x+2-x^2}\ge 0$$
Рассмотрим случаи:
1) $$\cos x\ge 0,$$ тогда
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sqrt{x+2-x^2}=0,$$ то есть
$$x+2-x^2=0,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=2.$$
Но выражение имеет смысл при
$$x+2-x^2\ge 0,$$
$$x^2-x-2\le 0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)\le 0,$$
$$-1\le x\le 2.$$
Следовательно, решение второго неравенства:
$$-1\le x\le \frac{\pi}{2}.$$