Упр.22.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему неравенств: а) система ctgx < -корень3/3 и sinx > -0,8 б) система cosx < 4/9 и ctgx > -3

а) Решим уравнение

$$\ctg\left(\frac{\pi}{3}\cos 2\pi x\right)=\sqrt{3}.$$

Так как $$\ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$ то

$$\frac{\pi}{3}\cos 2\pi x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}+3n.$$

Поскольку $$-1\le \cos 2\pi x\le 1,$$ получаем только $$n=0.$$ Значит,

$$\cos 2\pi x=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$2\pi x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm \frac{1}{6}+n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Решим уравнение

$$\sin(2\pi\cos x)=\frac{1}{2}.$$

Так как

$$\sin t=\frac{1}{2}\iff t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то

$$2\pi\cos x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Делим на $$2\pi$$:

$$\cos x=(-1)^n\frac{1}{12}+\frac{n}{2}.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ проверяем целые значения $$n$$. Подходят только $$n=0,1,-1,-2.$$ Получаем:

при $$n=0$$: $$\cos x=\frac{1}{12};$$

при $$n=1$$: $$\cos x=\frac{5}{12};$$

при $$n=-1$$: $$\cos x=-\frac{7}{12};$$

при $$n=-2$$: $$\cos x=-\frac{11}{12}.$$

Следовательно, решения исходного уравнения:

$$x=\pm \arccos\frac{1}{12}+2\pi n,$$

$$x=\pm \arccos\frac{5}{12}+2\pi n,$$

$$x=\pm \arccos\left(-\frac{7}{12}\right)+2\pi n,$$

$$x=\pm \arccos\left(-\frac{11}{12}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{1}{6}+n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm \arccos\frac{1}{12}+2\pi n,\ \pm \arccos\frac{5}{12}+2\pi n,\ \pm \arccos\left(-\frac{7}{12}\right)+2\pi n,\ \pm \arccos\left(-\frac{11}{12}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$