Упр.22.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему неравенств: а) система sinx < корень3/2 и tgx > 1,5 б) система cosx > -3/7 и tgx < -0,1

1. Рассмотрим систему

   $$\sin x<\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \tg x>1{,}5=\frac32.$$

   Из неравенства $$\tg x>\frac32$$ получаем

   $$x\in\left(\arctan\frac32+\pi k,\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right), \qquad k\in\mathbb Z.$$

   На каждом таком промежутке нужно дополнительно выполнить условие $$\sin x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Так как $$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},$$ то на промежутке $$\left(\arctan\frac32,\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(\arctan\frac32,\frac{\pi}{3}\right).$$

   С учётом периодичности тангенса:

   $$x\in\left(\arctan\frac32+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+\pi k\right), \qquad k\in\mathbb Z.$$

2. Рассмотрим систему

   $$\cos x>-\frac37, \qquad \tg x<-0{,}1=-\frac{1}{10}.$$

   Из неравенства $$\tg x<-\frac{1}{10}$$ получаем на каждом периоде

   $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \pi+\arctan\frac{1}{10}+\pi k\right), \qquad k\in\mathbb Z.$$

   Теперь учтём условие $$\cos x>-\frac37.$$ Пусть

   $$\alpha=\arccos\left(-\frac37\right).$$

   Тогда

   $$\cos x>-\frac37 \iff x\in(-\alpha+2\pi n,\ \alpha+2\pi n), \qquad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение с промежутками для тангенса даёт

   $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \alpha+2\pi n\right), \qquad n\in\mathbb Z,$$

   так как $$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\arctan\frac32+\pi k,\ \frac{\pi}{3}+\pi k\right), \qquad k\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \arccos\left(-\frac37\right)+2\pi n\right), \qquad n\in\mathbb Z.$$