Упр.22.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите систему неравенств: а) система sinx > -4/5 и cosx > -1/3 б) система sinx < 2/7 и cosx < 0,6

а) $$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5$$

Преобразуем уравнение:

$$a\cos x=5(2\cos x+a)$$
$$a\cos x=10\cos x+5a$$
$$\cos x(a-10)=5a$$
$$\cos x=\frac{5a}{a-10}$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы

$$-1\le \frac{5a}{a-10}\le 1,$$

и при этом $$a\ne 10$$.

Решим неравенства:

$$\frac{5a}{a-10}\ge -1$$
$$\frac{5a+a-10}{a-10}\ge 0$$
$$\frac{6a-10}{a-10}\ge 0$$
$$\frac{3a-5}{a-10}\ge 0$$

Отсюда $$a\le \frac53$$ или $$a>10$$.

$$\frac{5a}{a-10}\le 1$$
$$\frac{5a-a+10}{a-10}\le 0$$
$$\frac{4a+10}{a-10}\le 0$$
$$\frac{2a+5}{a-10}\le 0$$

Отсюда $$-\frac52\le a<10$$.

Пересекаем полученные промежутки:

$$\left(-\frac52,\,10\right)\cap \left(-\infty,\,\frac53\right]=\left[-\frac52,\,\frac53\right].$$

б) $$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2$$

Преобразуем уравнение:

$$a\sin x+1=2(2a-3\sin x)$$
$$a\sin x+1=4a-6\sin x$$
$$a\sin x+6\sin x=4a-1$$
$$\sin x(a+6)=4a-1$$
$$\sin x=\frac{4a-1}{a+6}$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы

$$-1\le \frac{4a-1}{a+6}\le 1,$$

и при этом $$a\ne -6$$.

Решим неравенства:

$$\frac{4a-1}{a+6}\ge -1$$
$$\frac{4a-1+a+6}{a+6}\ge 0$$
$$\frac{5a+5}{a+6}\ge 0$$
$$\frac{a+1}{a+6}\ge 0$$

Отсюда $$a<-6$$ или $$a\ge -1$$.

$$\frac{4a-1}{a+6}\le 1$$
$$\frac{4a-1-a-6}{a+6}\le 0$$
$$\frac{3a-7}{a+6}\le 0$$

Отсюда $$-6<a\le \frac73$$.

Пересекаем полученные промежутки:

$$\left((-\infty,-6)\cup[-1,\infty)\right)\cap\left(-6,\frac73\right]=[-1,\frac73].$$

Ответ

а) $$-\frac52\le a\le \frac53$$; б) $$-1\le a\le \frac73$$.