Упр.22.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а решением заданного неравенства служит любое действительное число: а) а cos x — 2 < 0; б) (2a - 3) sin x + 1 > = 0?

Чтобы неравенство было верно при любом действительном $$x$$, его левая часть должна быть неотрицательной или неположительной для всех значений тригонометрической функции, учитывая, что

$$-1 \le \cos x \le 1, \qquad -1 \le \sin x \le 1.$$

1. $$a\cos x-2<0.$$

   Это неравенство должно выполняться при любом $$\cos x \in [-1;1]$$. Наибольшее значение выражения $$a\cos x-2$$ достигается при $$\cos x=1$$, поэтому нужно

   $$a-2<0.$$

   Но при $$\cos x=-1$$ получаем $$-a-2<0$$, что верно не для всех $$a$$. Значит, нужно требовать, чтобы и при наибольшем, и при наименьшем значениях $$\cos x$$ неравенство выполнялось автоматически:

   $$a\cdot 1-2<0,\qquad a\cdot(-1)-2<0.$$

   Отсюда

   $$a<2,\qquad a>-2.$$

   Следовательно,

   $$-2<a<2.$$

2. $$\left(2a-3\right)\sin x+1\ge 0.$$

   Так как $$\sin x \in [-1;1]$$, то выражение $$\left(2a-3\right)\sin x+1$$ должно быть неотрицательным при всех значениях $$\sin x$$. Рассмотрим крайние значения:

   при $$\sin x=1$$:

   $$2a-3+1\ge 0,$$

   $$2a-2\ge 0,$$

   $$a\ge 1;$$

   при $$\sin x=-1$$:

   $$-(2a-3)+1\ge 0,$$

   $$-2a+4\ge 0,$$

   $$a\le 2.$$

   Значит,

   $$1\le a\le 2.$$

Ответ

а) $$a\in(-2;2)$$; б) $$a\in[1;2]$$.