Упр.22.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) sin x корень(4 — x2) < = 0; б) cos x корень(x + 2 - x2) > = 0.

а) Рассмотрим неравенство $$\sin x\sqrt{4-x^2}\le 0.$$

Сначала найдём область определения:

$$4-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

На этом промежутке $$\sqrt{4-x^2}\ge 0.$$ Поэтому произведение $$\sin x\sqrt{4-x^2}\le 0$$ выполняется тогда и только тогда, когда

$$\sin x\le 0$$

или когда $$\sqrt{4-x^2}=0,$$ то есть при $$x=\pm 2.$$

На отрезке $$[-2,2]$$ имеем $$\sin x\le 0$$ при $$x\in[-2,0].$$

Точки $$x=0$$ и $$x=\pm 2$$ также входят в решение.

Итак,

$$x\in[-2,0].$$

б) Рассмотрим неравенство $$\cos x\sqrt{x+2-x^2}\ge 0.$$

Найдём область определения:

$$x+2-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x^2-x-2\le 0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x+1)\le 0,$$

откуда

$$x\in[-1,2].$$

На этом промежутке $$\sqrt{x+2-x^2}\ge 0,$$ значит произведение неотрицательно, когда $$\cos x\ge 0,$$ либо когда корень равен нулю.

Решаем $$\cos x\ge 0$$ на отрезке $$[-1,2].$$

Так как $$\cos x\ge 0$$ при $$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;\frac{\pi}{2}+2\pi k\right],$$ то на отрезке $$[-1,2]$$ получаем

$$x\in\left[-1,\frac{\pi}{2}\right].$$

Кроме того, при $$x=-1$$ и $$x=2$$ подкоренное выражение равно нулю, поэтому эти точки тоже входят в ответ; они уже учтены.

Следовательно,

$$x\in\left[-1,\frac{\pi}{2}\right].$$

Ответ

а) $$[-2;0]$$; б) $$\left[-1;\frac{\pi}{2}\right].$$