Упр.22.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) ctg (Пи/3 cos 2Пиx) = корень3; б) sin (2Пи cos x) = 1/2.

а) $$\sin^2 x+\sin^2 3x=0$$

Так как $$\sin^2 x\ge 0$$ и $$\sin^2 3x\ge 0,$$ то сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$ \sin^2 x=0, \quad \sin^2 3x=0 $$
$$ \sin x=0, \quad \sin 3x=0 $$
$$ x=\pi n, \quad 3x=\pi k $$

Из первого уравнения уже получаем $$x=\pi n,$$ и это значение подходит и для второго, так как $$\sin 3(\pi n)=0.$$

Следовательно,

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) $$\cos^4 2x+1=\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

Преобразуем уравнение:

$$ \cos^4 2x+1-\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

Так как $$0\le \cos^4 2x\le 1,$$ то левая часть не может быть отрицательной. Равенство возможно только при

$$ \cos^4 2x=0 $$
и
$$ \cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1. $$

Тогда

$$ \cos 2x=0 $$
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$

и одновременно

$$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\pm 1 $$
$$ x-\frac{\pi}{4}=\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n. $$

Общими являются значения

$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$