Упр.22.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а множество корней заданного уравнения не пусто: а) acosx/(2cosx+a)=5 б) (asinx+1)/(2a-3sinx)=2

Подробный ответ

$$\frac{a\cos x}{2\cos x+a}=5$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$a\cos x=10\cos x+5a$$
$$\cos x(a-10)=5a$$
Если $$a=10$$, то получаем $$0=50$$, решений нет.
Если $$a\ne 10$$, то
$$\cos x=\frac{5a}{a-10}$$
Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, нужно и достаточно, чтобы
$$-1\le \frac{5a}{a-10}\le 1,\qquad a\ne 10.$$
Решим систему неравенств:
$$\frac{5a}{a-10}\le 1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4a+10}{a-10}\le 0,$$
$$\frac{5a}{a-10}\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{6a-10}{a-10}\ge 0.$$
Отсюда
$$a\in\left[-\frac52,\frac53\right]\cup(10,+\infty).$$
$$\frac{a\sin x+1}{2a-3\sin x}=2$$
ОДЗ: $$2a-3\sin x\ne 0.$$
Умножим на знаменатель:
$$a\sin x+1=4a-6\sin x$$
$$\sin x(a+6)=4a-1$$
Если $$a=-6$$, то получаем $$1=-24$$, решений нет.
Если $$a\ne -6$$, то
$$\sin x=\frac{4a-1}{a+6}.$$
Для существования корня нужно
$$-1\le \frac{4a-1}{a+6}\le 1,\qquad a\ne -6.$$
Решим неравенства:
$$\frac{4a-1}{a+6}\le 1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{3a-7}{a+6}\le 0,$$
$$\frac{4a-1}{a+6}\ge -1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{5a+5}{a+6}\ge 0.$$
Отсюда
$$a\in\left[-1,\frac73\right].$$