Упр.22.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) cosx=1/2, x принадлежит [1;6] б) cosx=корень2/2, x принадлежит [-Пи/4;12] в) cosx=-1/2, x принадлежит [1;6] г) cosx=-корень2/2, x принадлежит [1;6]
$$\cos x=\frac12$$
Значения косинуса равны $$\frac12$$ при
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$
На промежутке $$[1;6]$$ подходят:
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3}+2\pi \notin [1;6],$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{5\pi}{3}.$$
$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$
Общее решение:
$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$
На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{4};12\right]$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$
$$\cos x=-\frac12$$
Общее решение:
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$
На промежутке $$[1;6]$$ подходят:
$$x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$
$$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$$
Общее решение:
$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$
На промежутке $$[1;6]$$ получаем:
$$x=\frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}$$; б) $$-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$; в) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}$$; г) $$\frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}$$.
