Упр.22.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях параметра а множество корней заданного уравнения не пусто: а) sin x = 2а — 1; б) cos x = 2а2 — 5а + 1; в) cos x — 3а — 2; г) sin x = а2 — 3?

Подробный ответ

$$\sin x=2a-1$$
Чтобы уравнение имело корни, правая часть должна принадлежать отрезку $$[-1;1]$$:
$$-1\le 2a-1\le 1$$
$$0\le 2a\le 2$$
$$0\le a\le 1$$
$$\cos x=2a^2-5a+1$$
Для существования корней нужно:
$$-1\le 2a^2-5a+1\le 1$$
Решим систему неравенств:
$$2a^2-5a\le 0$$
$$a(2a-5)\le 0$$
$$0\le a\le \frac52$$
и
$$2a^2-5a\ge -2$$
$$2a^2-5a+2\ge 0$$
$$\left(2a-1\right)\left(a-2\right)\ge 0$$
$$a\le \frac12 \quad \text{или} \quad a\ge 2$$
Пересечение множеств:
$$a\in \left[0;\frac12\right]\cup \left[2;\frac52\right]$$
$$\cos x=3a-2$$
Условие существования корней:
$$-1\le 3a-2\le 1$$
$$1\le 3a\le 3$$
$$\frac13\le a\le 1$$
$$\sin x=a^2-3$$
Нужно, чтобы
$$-1\le a^2-3\le 1$$
Отсюда:
$$2\le a^2\le 4$$
$$\sqrt2\le |a|\le 2$$
Значит,
$$a\in [-2;-\sqrt2]\cup [\sqrt2;2]$$