Упр.22.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: a) sin 4x + cos 2x = 2; 6) sin 5x + cos 3x = -2.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(2x^2-12x+13\right)\sin x=3|\sin x|.$$

Если $$\sin x=0,$$ то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и получаем

$$2x^2-12x+13=3,$$

$$2x^2-12x+10=0,$$

$$x^2-6x+5=0,$$

$$x_1=1,\quad x_2=5.$$

Проверка знака: $$\sin 1>0,$$ $$\sin 5<0,$$ значит подходит только $$x=1.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

$$2x^2-12x+13=-3,$$

$$2x^2-12x+16=0,$$

$$x^2-6x+8=0,$$

$$x_1=2,\quad x_2=4.$$

Проверка знака: $$\sin 2>0,$$ $$\sin 4<0,$$ значит подходит только $$x=4.$$

Итак, решения: $$x=\pi n,\;1,\;4.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(x^2+8x+11\right)|\cos 2x|=4\cos 2x.$$

Если $$\cos 2x=0,$$ то уравнение выполняется, поэтому

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\cos 2x>0,$$ то $$|\cos 2x|=\cos 2x,$$ и получаем

$$x^2+8x+11=4,$$

$$x^2+8x+7=0,$$

$$x_1=-1,\quad x_2=-7.$$

Проверка: $$\cos(-2)<0,$$ $$\cos(-14)>0,$$ значит подходит только $$x=-7.$$

Если $$\cos 2x<0,$$ то $$|\cos 2x|=-\cos 2x,$$ и тогда

$$x^2+8x+11=-4,$$

$$x^2+8x+15=0,$$

$$x_1=-3,\quad x_2=-5.$$

Проверка: $$\cos(-6)>0,$$ $$\cos(-10)<0,$$ значит подходит только $$x=-5.$$

Итак, решения: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\;-7,\;-5.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\;1,\;4.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\;-7,\;-5.$$