Упр.22.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: а) sin2 x + sin2 3x = 0; б) cos4 2x + 1 = cos2 (x-Пи/4)

а) Рассмотрим уравнение $$x^2\cdot |\tg x|+9\tg x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\tg x\,(x^2\cdot \operatorname{sgn}(\tg x)+9)=0.$$

Удобнее разобрать по знаку $$\tg x$$.

1) Если $$\tg x=0,$$ то

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$\tg x>0,$$ то $$|\tg x|=\tg x,$$ и получаем

$$x^2\tg x+9\tg x=0,$$

$$\tg x\,(x^2+9)=0.$$

Так как $$\tg x\neq 0,$$ то

$$x^2+9=0,$$

что не имеет действительных корней.

3) Если $$\tg x<0,$$ то $$|\tg x|=-\tg x,$$ и тогда

$$-x^2\tg x+9\tg x=0,$$

$$\tg x\,(9-x^2)=0.$$

Так как $$\tg x\neq 0,$$ то

$$9-x^2=0,$$

$$x=\pm 3.$$

Проверка знака: $$\tg 3>0,$$ значит $$x=3$$ не подходит; $$\tg(-3)<0,$$ значит $$x=-3$$ подходит.

Итак, для пункта а): $$x=\pi n,\; -3.$$

б) Рассмотрим уравнение $$x^2\cdot \ctg x-4|\ctg x|=0.$$

Разберём по знаку $$\ctg x$$.

1) Если $$\ctg x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$\ctg x>0,$$ то $$|\ctg x|=\ctg x,$$ и получаем

$$x^2\ctg x-4\ctg x=0,$$

$$\ctg x\,(x^2-4)=0.$$

Так как $$\ctg x\neq 0,$$ то

$$x^2-4=0,$$

$$x=\pm 2.$$

Проверка знака: $$\ctg 2<0,$$ значит $$x=2$$ не подходит; $$\ctg(-2)>0,$$ значит $$x=-2$$ подходит.

3) Если $$\ctg x<0,$$ то $$|\ctg x|=-\ctg x,$$ и тогда

$$x^2\ctg x+4\ctg x=0,$$

$$\ctg x\,(x^2+4)=0.$$

Так как $$x^2+4=0$$ не имеет действительных корней, решений здесь нет.

Итак, для пункта б): $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; -2.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\,-3.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\,-2.$$