Упр.22.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: а) у = arcsin x/2 + корень(sinx + 1/2); б) у = arccos(2x — 1) + корень (1/корень2 — cosx).

а) Рассмотрим уравнение

$$ (2x-3)|\sin x|=\sin x. $$

Если $$\sin x=0,$$ то

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и получаем

$$ (2x-3)\sin x=\sin x. $$

Так как $$\sin x\neq 0,$$ делим на $$\sin x$$:

$$ 2x-3=1, $$

$$ 2x=4, $$

$$ x=2. $$

Проверка: $$\sin 2>0,$$ значит, значение подходит.

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

$$ (2x-3)(-\sin x)=\sin x. $$

После деления на $$\sin x\neq 0$$ получаем

$$ 2x-3=-1, $$

$$ 2x=2, $$

$$ x=1. $$

Но $$\sin 1>0,$$ значит, это значение не подходит.

Итак, решения: $$x=\pi n$$ и $$x=2.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$ (3x-7)\cos x=5|\cos x|. $$

Если $$\cos x=0,$$ то

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и получаем

$$ (3x-7)\cos x=5\cos x. $$

Так как $$\cos x\neq 0,$$ делим на $$\cos x$$:

$$ 3x-7=5, $$

$$ 3x=12, $$

$$ x=4. $$

Но $$\cos 4<0,$$ значит, это значение не подходит.

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$ (3x-7)\cos x=-5\cos x. $$

После деления на $$\cos x\neq 0$$ получаем

$$ 3x-7=-5, $$

$$ 3x=2, $$

$$ x=\frac{2}{3}. $$

Но $$\cos \frac{2}{3}>0,$$ значит, это значение не подходит.

Следовательно, остаются только решения

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=2.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$