Упр.22.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: а) y=корень sinx + 1/корень cosx б) y=корень(cosx-1/2) + ctg2x в) y=tg2x — 1/корень(1-2sinx) г) y=1/sin4x — корень(cos-1/корень2)

1. а) Область определения задаётся условиями:

   $$\sin x \ge 0,\qquad \cos x \ne 0.$$

   Так как $$\sqrt{\sin x}$$ определён при $$\sin x \ge 0$$, а $$\dfrac{1}{\sqrt{\cos x}}$$ требует $$\cos x > 0$$, получаем:

   $$\sin x \ge 0,\qquad \cos x > 0.$$

   Это выполняется при

   $$x \in \left[2\pi n,\; \pi+2\pi n\right)\cap\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; \frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x \in \left[2\pi n,\; \frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. б) Для выражения $$\sqrt{\cos x-\frac12}+\ctg 2x$$ нужны условия:

   $$\cos x-\frac12 \ge 0,\qquad \sin 2x \ne 0.$$

   То есть

   $$\cos x \ge \frac12,\qquad x \ne \frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\cos x \ge \frac12$$ получаем

   $$x \in \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; \frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Исключаем точки, где $$\sin 2x=0$$, то есть $$x=\frac{\pi n}{2}$$. В итоге:

   $$x \in \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; \frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\setminus\left\{\frac{\pi n}{2}\right\},\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. в) Для выражения $$\tg 2x-\dfrac{1}{\sqrt{1-2\sin x}}$$ нужно:

   $$\cos 2x \ne 0,\qquad 1-2\sin x > 0.$$

   То есть

   $$\cos 2x \ne 0,\qquad \sin x < \frac12.$$

   Следовательно, область определения:

   $$x \in \mathbb R:\ \cos 2x \ne 0,\ \sin x < \frac12.$$

   В частности,

   $$x \ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. г) Для выражения $$\dfrac{1}{\sin 4x}-\sqrt{\cos x-\frac{1}{\sqrt2}}$$ нужны условия:

   $$\sin 4x \ne 0,\qquad \cos x-\frac{1}{\sqrt2} \ge 0.$$

   То есть

   $$\sin 4x \ne 0,\qquad \cos x \ge \frac{1}{\sqrt2}.$$

   Отсюда

   $$x \in \left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; \frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z,$$

   и одновременно

   $$x \ne \frac{\pi n}{4},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x \in \left[2\pi n,\; \frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$x \in \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; \frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\setminus\left\{\frac{\pi n}{2}\right\},\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$\cos 2x \ne 0,\ \sin x < \frac12;$$

г) $$\sin 4x \ne 0,\ \cos x \ge \frac{1}{\sqrt2}.$$