Упр.22.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) sin(2x-Пи/3) > 1/3 б) cos(Пи/4-x) < корень2/2 в) cos(3x-Пи/6) > -1/4 г) sin(3Пи/4-x) < корень3/2

1. $$\sin(2x-\pi/3)>\frac13$$

   Пусть $$t=2x-\pi/3$$. Тогда нужно решить неравенство $$\sin t>\frac13.$$

   Обозначим $$\alpha=\arcsin\frac13.$$ Тогда

   $$t\in\left(\alpha+2\pi k,\ \pi-\alpha+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$2x-\pi/3\in\left(\alpha+2\pi k,\ \pi-\alpha+2\pi k\right),$$

   $$x\in\left(\frac{\pi/3+\alpha}{2}+\pi k,\ \frac{\pi/3+\pi-\alpha}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos(\pi/4-x)<\frac{\sqrt2}{2}$$

   Используем формулу $$\cos(\pi/4-x)=\cos(x-\pi/4).$$ Пусть $$t=x-\pi/4$$. Тогда

   $$\cos t<\frac{\sqrt2}{2}=\cos\frac{\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$t\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ 2\pi+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos(3x-\pi/6)>-\frac14$$

   Пусть $$t=3x-\pi/6$$. Тогда нужно решить неравенство $$\cos t>-\frac14.$$

   Обозначим $$\beta=\arccos\left(-\frac14\right).$$ Тогда

   $$t\in\left(-\beta+2\pi k,\ \beta+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$3x-\pi/6\in\left(-\beta+2\pi k,\ \beta+2\pi k\right),$$

   $$x\in\left(\frac{\pi/6-\beta}{3}+\frac{2\pi k}{3},\ \frac{\pi/6+\beta}{3}+\frac{2\pi k}{3}\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin(3\pi/4-x)<\frac{\sqrt3}{2}$$

   Пусть $$t=3\pi/4-x$$. Тогда

   $$\sin t<\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}.$$

   Значит,

   $$t\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi k\right)\cup\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Подставляя $$t=3\pi/4-x$$, получаем

   $$x\in\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}-2\pi k,\ \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}-2\pi k\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}-2\pi k,\ \frac{3\pi}{4}-\frac{2\pi}{3}-2\pi k\right).$$

   После упрощения и переобозначения целого параметра:

   $$x\in\left(\frac{5\pi}{12}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{\pi}{12}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi/3+\arcsin(1/3)}{2}+\pi k,\ \frac{4\pi/3-\arcsin(1/3)}{2}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ 2\pi+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$

в) $$x\in\left(\frac{\pi/6-\arccos(-1/4)}{3}+\frac{2\pi k}{3},\ \frac{\pi/6+\arccos(-1/4)}{3}+\frac{2\pi k}{3}\right),\ k\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(\frac{5\pi}{12}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{\pi}{12}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$