Упр.22.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) sin 2x < 1/2; б) 3 cos 4x < 1; в) cos Зх > корень3/2; г) 7 sin x/2 > -1,

а) $$y=\sin x+\sqrt{-\cos^2 x}$$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$-\cos^2 x\ge 0$$

Так как $$\cos^2 x\ge 0,$$ то возможно только

$$\cos^2 x=0,\quad \cos x=0,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\sin x.$$

При $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ получаем $$y=1,$$ а при $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k$$ получаем $$y=-1.$$

Следовательно,

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

б) $$y=\cos x+\sqrt{-\sin^2 x}$$

Область допустимых значений задаётся условием:

$$-\sin^2 x\ge 0$$

Отсюда

$$\sin^2 x=0,\quad \sin x=0,\quad x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\cos x.$$

При $$x=2\pi k$$ имеем $$y=1,$$ а при $$x=\pi+2\pi k$$ имеем $$y=-1.$$

Следовательно,

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

Ответ

а) $$E(y)=\{-1;1\}$$; б) $$E(y)=\{-1;1\}$$.