Упр.22.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) tg2 x > 9; б) tg2 x > tg x; в) tg2 x < 9; г) tg2 x < 2 tg x

1. $$y=\frac{\sin x}{2\cos x-1}$$
   Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:
   $$2\cos x-1\ne 0,$$
   $$2\cos x\ne 1,$$
   $$\cos x\ne \frac12.$$
   Тогда
   $$x\ne \pm \arccos \frac12 + 2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$y=\frac{\ctg x}{\pi-3\cos x}$$
   Нужно, чтобы были определены и числитель, и знаменатель:
   $$\sin x\ne 0,$$
   $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
   $$\pi-3\cos x\ne 0,$$
   $$\cos x\ne \frac{\pi}{3}.$$
   Но $$\frac{\pi}{3}>1,$$ а значит, равенство $$\cos x=\frac{\pi}{3}$$ невозможно при любом $$x$$. Поэтому остаётся только условие
   $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$y=\frac{\sqrt{x}}{\sin x}$$
   Для корня нужно:
   $$x\ge 0.$$
   Для знаменателя:
   $$\sin x\ne 0,$$
   $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Итак,
   $$x\ge 0,\quad x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Так как при $$x=0$$ знаменатель равен нулю, то можно записать:
   $$x>0,\quad x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$y=\frac{\tg x}{\sqrt{x-5}}$$
   Для тангенса:
   $$\cos x\ne 0,$$
   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Для корня в знаменателе:
   $$x-5>0,$$
   $$x>5.$$
   Следовательно,
   $$x>5,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\ne \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x>0,\ x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x>5,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$