Упр.22.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) tg x < 3; б) 3 ctg x - 1 > 0; в) ctg x < = 2; г) 2 tg x + 1 > = 0.

1. $$\sqrt{16-x^2}\cdot \sin x=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$\sqrt{16-x^2}=0 \Rightarrow 16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4,$$
   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Учтём область определения:

   $$16-x^2\ge 0 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$

   Тогда подходят значения:

   $$x=-4,\;-\pi,\;0,\;\pi,\;4.$$

2. $$\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\sqrt{4x^2-7x+3}=0$$

   Рассмотрим каждый множитель:

   $$\sqrt{2}\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$
   $$\sqrt{4x^2-7x+3}=0 \Rightarrow 4x^2-7x+3=0.$$

   $$D=49-48=1,$$
   $$x=\frac{7\pm 1}{8} \Rightarrow x=\frac{3}{4},\;1.$$

   Область определения:

   $$4x^2-7x+3\ge 0 \Rightarrow (4x-3)(x-1)\ge 0,$$
   $$x\le \frac{3}{4}\ \text{или}\ x\ge 1.$$

   Из тригонометрических корней условию удовлетворяют только:

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Итак, решения:

   $$x=1,\;\frac{3}{4},\;\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\sqrt{7x-x^2}\,(2\cos x-1)=0$$

   Найдём корни каждого множителя:

   $$\sqrt{7x-x^2}=0 \Rightarrow 7x-x^2=0 \Rightarrow x(7-x)=0 \Rightarrow x=0,\;7;$$
   $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Область определения:

   $$7x-x^2\ge 0 \Rightarrow x(7-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 7.$$

   На отрезке $$[0;7]$$ из тригонометрических корней подходят:

   $$\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3}.$$

   Ответ:

   $$0,\;\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3},\;7.$$

4. $$\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\sqrt{3x^2-7x+4}=0$$

   Решаем по множителям:

   $$2\sin x-\sqrt{3}=0 \Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$
   $$\sqrt{3x^2-7x+4}=0 \Rightarrow 3x^2-7x+4=0.$$

   $$D=49-48=1,$$
   $$x=\frac{7\pm 1}{6} \Rightarrow x=1,\;\frac{4}{3}.$$

   Область определения:

   $$3x^2-7x+4\ge 0 \Rightarrow (3x-4)(x-1)\ge 0,$$
   $$x\le 1\ \text{или}\ x\ge \frac{4}{3}.$$

   Из тригонометрических корней условию удовлетворяют только:

   $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

   Итак, решения:

   $$x=1,\;\frac{4}{3},\;\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$-4,\;-\pi,\;0,\;\pi,\;4$$

б) $$1,\;\frac{3}{4},\;\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

в) $$0,\;\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3},\;7$$

г) $$1,\;\frac{4}{3},\;\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$