Упр.22.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) tg x < корень3; б) ctg x > 0; в) tg x < 0; г) ctg x > -1.
$$|x+3|\sin x=x+3$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x=-3$$. Тогда равенство верно.
2) Если $$x>-3$$, то $$|x+3|=x+3$$, и получаем
$$ (x+3)\sin x=x+3 $$
Так как $$x+3\neq 0$$, то
$$\sin x=1,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Эти значения удовлетворяют условию $$x>-3$$ при $$n=0,1,2,\dots$$
3) Если $$x<-3$$, то $$|x+3|=-(x+3)$$, и
$$ -(x+3)\sin x=x+3 $$
Так как $$x+3\neq 0$$, то
$$\sin x=-1,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Эти значения удовлетворяют условию $$x<-3$$ при $$n=-1,-2,-3,\dots$$
$$2|x-6|\cos x=x-6$$
Рассмотрим случаи.
1) $$x=6$$. Тогда равенство верно.
2) Если $$x>6$$, то $$|x-6|=x-6$$, и
$$ 2(x-6)\cos x=x-6 $$
Так как $$x-6\neq 0$$, то
$$\cos x=\frac12,$$
откуда
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Из условия $$x>6$$ подходят значения
$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n=2,3,4,\dots$$
и
$$x=\frac{7\pi}{3}+2\pi n,\quad n=0,1,2,\dots$$
3) Если $$x<6$$, то $$|x-6|=-(x-6)$$, и
$$ -2(x-6)\cos x=x-6 $$
Так как $$x-6\neq 0$$, то
$$\cos x=-\frac12,$$
откуда
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Из условия $$x<6$$ подходят значения
$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n=0,-1,-2,\dots$$
и
$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n=0,-1,-2,\dots$$
Ответ
а) $$x=-3;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\ (n=0,1,2,\dots);\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n\ (n=-1,-2,-3,\dots).$$
б) $$x=6;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n\ (n=2,3,4,\dots);\ \frac{7\pi}{3}+2\pi n\ (n=0,1,2,\dots);\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n\ (n=0,-1,-2,\dots);\ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n\ (n=0,-1,-2,\dots).$$
