Упр.22.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 6 cos2 x + 5 cos x + 1 = 0; б) 3 + 9 cos x = 5 sin2 x.

а) Пусть $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6y^2+5y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1.$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2\cdot 6}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{-5-1}{12}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{-5+1}{12}=-\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

$$\cos x=-\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) Используем формулу $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$3+9\cos x=5\sin^2 x$$

$$3+9\cos x=5(1-\cos^2 x)$$

$$5\cos^2 x+9\cos x-2=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:

$$5y^2+9y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=81+40=121.$$

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{2\cdot 5}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac{-9-11}{10}=-2,$$

$$y_2=\frac{-9+11}{10}=\frac15.$$

Значение $$\cos x=-2$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

Остаётся:

$$\cos x=\frac15 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos\!\left(\frac15\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z};\quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=\pm \arccos\!\left(\frac15\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$