Упр.22.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 6 cos2 t + sin t > 4; б) 6 cos2 t + sin t < = 4.

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \sin 2x<\dfrac12,\\ 25-x^2\ge 0. \end{cases} $$

1) Из неравенства $$\sin 2x<\dfrac12$$ получаем:

$$ 2x\in\left(-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n,\ \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

Тогда

$$ x\in\left(-\dfrac{7\pi}{12}+\pi n,\ \dfrac{\pi}{12}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Из второго неравенства:

$$ 25-x^2\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2\le 25 \;\Longleftrightarrow\; -5\le x\le 5. $$

Пересекаем полученные промежутки с отрезком $$[-5;5]$$. Получаем:

$$ -5<x<-\dfrac{11\pi}{12};\quad -\dfrac{7\pi}{12}<x<\dfrac{\pi}{12};\quad \dfrac{5\pi}{12}<x\le \dfrac{13\pi}{12};\quad \dfrac{17\pi}{12}<x\le 5. $$

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)\le \dfrac{\sqrt2}{2},\\ |x+2|<3. \end{cases} $$

1) Из неравенства $$|x+2|<3$$ имеем:

$$ -3<x+2<3 \;\Longleftrightarrow\; -5<x<1. $$

2) Решим первое неравенство. Так как

$$ \cos \theta \le \dfrac{\sqrt2}{2} $$

при

$$ \theta\in\left[\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{7\pi}{4}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z, $$

то

$$ 3x+\dfrac{\pi}{4}\in\left[\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\ \dfrac{7\pi}{4}+2\pi n\right]. $$

Отсюда

$$ 2\pi n\le 3x\le \dfrac{3\pi}{2}+2\pi n, $$

$$ \dfrac{2\pi n}{3}\le x\le \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{2\pi n}{3}. $$

Пересекаем с промежутком $$(-5;1)$$. Подходят значения:

$$ -5<x<-\dfrac{3\pi}{2};\quad -\dfrac{4\pi}{3}<x<-\dfrac{5\pi}{6};\quad -\dfrac{2\pi}{3}<x<-\dfrac{\pi}{6};\quad 0<x<1. $$

Ответ

а) $$-5<x<-\dfrac{11\pi}{12};\ -\dfrac{7\pi}{12}<x<\dfrac{\pi}{12};\ \dfrac{5\pi}{12}<x\le \dfrac{13\pi}{12};\ \dfrac{17\pi}{12}<x\le 5.$$
б) $$-5<x<-\dfrac{3\pi}{2};\ -\dfrac{4\pi}{3}<x<-\dfrac{5\pi}{6};\ -\dfrac{2\pi}{3}<x<-\dfrac{\pi}{6};\ 0<x<1.$$