Упр.22.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 5 sin2 t > 11 sin t + 12; б) 5 sin2 t < = 11 sin t + 12.

а) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \ctg x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3},\\ \sin x>-0{,}8. \end{cases} $$

1) Из неравенства $$\ctg x<-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$ получаем:

$$ x=\pi-\operatorname{arcctg}\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\pi n $$
$$ \operatorname{arcctg}\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\pi}{3}, $$
значит
$$ \dfrac{2\pi}{3}+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Из неравенства $$\sin x>-0{,}8$$ имеем:

$$ -\arcsin 0{,}8+2\pi n<x<\pi+\arcsin 0{,}8+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Пересекаем полученные промежутки. Тогда

$$ -\arcsin 0{,}8+2\pi n<x<2\pi n, $$
$$ \dfrac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+\arcsin 0{,}8+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \cos x<\dfrac{4}{9},\\ \ctg x>-3. \end{cases} $$

1) Из неравенства $$\cos x<\dfrac{4}{9}$$ получаем:

$$ x=\pm \arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n, $$
значит
$$ \arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n<x<2\pi-\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) Из неравенства $$\ctg x>-3$$ имеем:

$$ x=\operatorname{arcctg}(-3)+\pi n, $$
поэтому
$$ \pi n<x<\operatorname{arcctg}(-3)+\pi n, $$
или
$$ \pi+\pi n<x<\pi+\operatorname{arcctg}(-3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Пересечение промежутков даёт:

$$ \arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n<x<\operatorname{arcctg}(-3)+2\pi n, $$
$$ \pi+2\pi n<x<2\pi-\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$-\arcsin 0{,}8+2\pi n<x<2\pi n$$ и $$\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\pi+\arcsin 0{,}8+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n<x<\operatorname{arcctg}(-3)+2\pi n$$ и $$\pi+2\pi n<x<2\pi-\arccos\dfrac{4}{9}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$