Упр.22.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) 4 cos2 t < 1; б) 3 cos2 t < cos t; в) 9cos2 t > 1; г) 3cos2 t > cos t.

1. а) $$4\cos^2 t<1$$

   $$\cos^2 t<\frac14$$

   $$|\cos t|<\frac12$$

   Решаем по промежуткам между точками, где $$\cos t=\pm \frac12$$:

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

   или

   $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$3\cos^2 t<\cos t$$

   $$3\cos^2 t-\cos t<0$$

   $$\cos t(3\cos t-1)<0$$

   Пусть $$x=\cos t$$. Тогда

   $$x(3x-1)<0,\quad x\in[-1;1].$$

   Отсюда

   $$0<x<\frac13.$$

   Значит,

   $$0<\cos t<\frac13.$$

   Обозначим $$\alpha=\arccos\frac13$$. Тогда

   $$\alpha<t<2\pi-\alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   но с учётом условия $$\cos t>0$$ получаем

   $$-\alpha+2\pi n<t<\alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   и пересечение с $$0<\cos t<\frac13$$ даёт

   $$2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$9\cos^2 t>1$$

   $$\cos^2 t>\frac19$$

   $$|\cos t|>\frac13$$

   Пусть $$\beta=\arccos\frac13$$. Тогда

   $$\cos t>\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t<-\frac13.$$

   Следовательно,

   $$-\beta+2\pi n<t<\beta+2\pi n$$

   или

   $$\pi-\beta+2\pi n<t<\pi+\beta+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$3\cos^2 t>\cos t$$

   $$3\cos^2 t-\cos t>0$$

   $$\cos t(3\cos t-1)>0$$

   Пусть $$x=\cos t$$. Тогда

   $$x(3x-1)>0,\quad x\in[-1;1].$$

   Отсюда

   $$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac13.$$

   Значит,

   $$\cos t<0 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$

   Пусть $$\beta=\arccos\frac13$$. Тогда

   $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

   или

   $$-\beta+2\pi n<t<\beta+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ или $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n$$ или $$\pi-\arccos\frac13+2\pi n<t<\pi+\arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$ или $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$