Упр.22.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 3 cos2 t — 4 cos t > 4; б) 6 cos2 t + 1 > 5 cos t; в) 3 cos2 t — 4 cos t < 4; г) 6 cos2 t + 1 < 5 cos t.

1. а) $$3\cos 2t-4\cos t>4$$

   Используем формулу $$\cos 2t=2\cos^2 t-1$$:

   $$ 3(2\cos^2 t-1)-4\cos t>4 $$
   $$ 6\cos^2 t-4\cos t-7>0 $$

   Обозначим $$x=\cos t$$, тогда

   $$ 6x^2-4x-7>0 $$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$ D=(-4)^2-4\cdot 6\cdot(-7)=16+168=184=4\cdot 46 $$
   $$ x_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{46}}{12}=\frac{2\pm \sqrt{46}}{6} $$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$ x<\frac{2-\sqrt{46}}{6}\quad \text{или}\quad x>\frac{2+\sqrt{46}}{6} $$

   С учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем:

   $$ \cos t>\frac{2+\sqrt{46}}{6} $$

   Следовательно,

   $$ t\in \left(-\arccos \frac{2+\sqrt{46}}{6}+2\pi n,\ \arccos \frac{2+\sqrt{46}}{6}+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z $$

2. б) $$6\cos^2 t+1>5\cos t$$

   Положим $$x=\cos t$$. Тогда

   $$ 6x^2-5x+1>0 $$
   $$ (6x-1)(x-1)>0 $$

   Отсюда

   $$ x<\frac16 \quad \text{или}\quad x>1 $$

   Но $$\cos t\le 1$$, значит остаётся

   $$ \cos t<\frac16 $$

   Тогда

   $$ t\in \left(\arccos \frac16+2\pi n,\ 2\pi-\arccos \frac16+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z $$

3. в) $$3\cos^2 t-4\cos t<4$$

   Пусть $$x=\cos t$$. Тогда

   $$ 3x^2-4x-4<0 $$
   $$ (3x+2)(x-2)<0 $$

   Корни: $$x=-\frac23$$ и $$x=2$$. С учётом $$-1\le x\le 1$$ получаем

   $$ -\frac23<\cos t\le 1 $$

   Значит,

   $$ t\in \left(-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\ \arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z $$

4. г) $$6\cos^2 t+1<5\cos t$$

   Положим $$x=\cos t$$. Тогда

   $$ 6x^2-5x+1<0 $$
   $$ (6x-1)(x-1)<0 $$

   Отсюда

   $$ \frac16<x<1 $$

   Следовательно,

   $$ \frac16<\cos t<1 $$

   и

   $$ t\in \left(-\arccos \frac16+2\pi n,\ \arccos \frac16+2\pi n\right),\quad n\in \mathbb Z $$

Ответ

а) $$t\in \left(-\arccos \frac{2+\sqrt{46}}{6}+2\pi n,\ \arccos \frac{2+\sqrt{46}}{6}+2\pi n\right),\ n\in \mathbb Z$$
б) $$t\in \left(\arccos \frac16+2\pi n,\ 2\pi-\arccos \frac16+2\pi n\right),\ n\in \mathbb Z$$
в) $$t\in \left(-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\ \arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\right),\ n\in \mathbb Z$$
г) $$t\in \left(-\arccos \frac16+2\pi n,\ \arccos \frac16+2\pi n\right),\ n\in \mathbb Z$$