Упр.22.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) cos t < 2/3; б) cos t > -1/7; в) cos t > 2/3 г) cos t < -1/7

1. $$\tg^2 x>9$$

   Положим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$ y^2>9 \\ y^2-9>0 \\ (y-3)(y+3)>0 $$

   Отсюда $$y<-3$$ или $$y>3$$, то есть

   $$ \tg x<-3 \quad \text{или} \quad \tg x>3 $$

   Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем:

   $$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 3+\pi n $$
   или
   $$ \arctg 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. $$\tg^2 x>\tg x$$

   Положим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$ y^2>y \\ y^2-y>0 \\ y(y-1)>0 $$

   Отсюда $$y<0$$ или $$y>1$$, то есть

   $$ \tg x<0 \quad \text{или} \quad \tg x>1 $$

   Следовательно,

   $$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n $$
   или
   $$ \frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

3. $$\tg^2 x<9$$

   Положим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$ y^2<9 \\ y^2-9<0 \\ (y-3)(y+3)<0 $$

   Отсюда $$-3<y<3$$, то есть

   $$ -3<\tg x<3 $$

   На каждом промежутке возрастания функции $$\tg x$$ получаем

   $$ -\arctg 3+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

4. $$\tg^2 x<2\tg x$$

   Положим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$ y^2<2y \\ y^2-2y<0 \\ y(y-2)<0 $$

   Отсюда $$0<y<2$$, то есть

   $$ 0<\tg x<2 $$

   Следовательно,

   $$ \pi n<x<\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 3+\pi n$$ или $$\arctg 3+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n$$ или $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$-\arctg 3+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$\pi n<x<\arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.