Упр.22.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) cost > 1/2 б) cost < =-корень2/2 в) cost > =-корень2/2 г) cost < 1/2

1. $$\tg x<3$$

   Решим уравнение $$\tg x=3$$:

   $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция $$\tg x$$ возрастает на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, поэтому

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\ctg x-1>0$$

   Получаем:

   $$\ctg x>\frac13.$$

   Решим уравнение $$\ctg x=\frac13$$:

   $$x=\arcctg \frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция $$\ctg x$$ убывает на промежутке $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$, значит

   $$\pi n<x<\arcctg \frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg x\le 2$$

   Решим уравнение $$\ctg x=2$$:

   $$x=\arcctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\ctg x$$ убывает на $$\left(\pi n;\,\pi+\pi n\right)$$, то

   $$\arcctg 2+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$2\tg x+1\ge 0$$

   Имеем:

   $$\tg x\ge -\frac12.$$

   Решим уравнение $$\tg x=-\frac12$$:

   $$x=-\arctg \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Функция $$\tg x$$ возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, поэтому

   $$-\arctg \frac12+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$;
б) $$\pi n<x<\arcctg \frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$;
в) $$\arcctg 2+\pi n\le x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$;
г) $$-\arctg \frac12+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$.