Упр.22.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет уравнение: а) sin(3x-Пи/4) корень(8x-x2-7)=0 б) cos (2x+пи/3) корень(10-x2-3x)=0
Рассмотрим каждый множитель отдельно. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом определён.
а) $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\sqrt{8x-x^2-7}=0$$
1) Найдём область определения корня:
$$8x-x^2-7\ge 0$$
$$-x^2+8x-7\ge 0$$
$$x^2-8x+7\le 0$$
$$(x-1)(x-7)\le 0$$
$$1\le x\le 7.$$2) Решим уравнение для синуса:
$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}.$$Остаётся выбрать те значения, которые принадлежат отрезку $$[1;7]$$. Таких значений конечное число.
3) Второй множитель обращается в нуль при
$$8x-x^2-7=0$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$(x-1)(x-7)=0,$$то есть $$x=1$$ и $$x=7$$.
Итак, уравнение имеет все корни вида $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$, лежащие на отрезке $$[1;7]$$, а также точки $$x=1$$ и $$x=7$$.
б) $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\sqrt{10-x^2-3x}=0$$
1) Найдём область определения корня:
$$10-x^2-3x\ge 0$$
$$x^2+3x-10\le 0$$
$$(x+5)(x-2)\le 0$$
$$-5\le x\le 2.$$2) Решим уравнение для косинуса:
$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$
$$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$Нужно оставить только те значения, которые принадлежат отрезку $$[-5;2]$$.
3) Второй множитель обращается в нуль при
$$10-x^2-3x=0$$
$$x^2+3x-10=0$$
$$(x+5)(x-2)=0,$$то есть $$x=-5$$ и $$x=2$$.
Следовательно, корни уравнения — все значения $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$, лежащие на отрезке $$[-5;2]$$, а также точки $$x=-5$$ и $$x=2$$.
Ответ
а) все $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{3}$$, где $$1\le x\le 7$$, а также $$x=1$$ и $$x=7$$;
б) все $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$, где $$-5\le x\le 2$$, а также $$x=-5$$ и $$x=2$$.
