Упр.22.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) (2×2 — 12x + 13) sin x = 3 |sin х|; б) (x2 + 8x + 11) |cos 2x| = 4 cos 2x.

а) $$\left(2x^2-12x+13\right)\sin x=3|\sin x|.$$

Перенесём всё в одну сторону и рассмотрим случаи по знаку $$\sin x$$.

Если $$\sin x=0,$$ то уравнение выполняется.

Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и получаем

$$\left(2x^2-12x+13\right)\sin x=3\sin x,$$

$$\sin x\left(2x^2-12x+10\right)=0.$$

Так как $$\sin x>0,$$ то

$$2x^2-12x+10=0,$$

$$x^2-6x+5=0,$$

$$\left(x-1\right)\left(x-5\right)=0,$$

$$x=1 \text{ или } x=5.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

$$\left(2x^2-12x+13\right)\sin x=-3\sin x,$$

$$\sin x\left(2x^2-12x+16\right)=0.$$

Так как $$\sin x<0,$$ то

$$2x^2-12x+16=0,$$

$$x^2-6x+8=0,$$

$$\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0,$$

$$x=2 \text{ или } x=4.$$

Итак, решения: $$x=1,2,4,5,$$ а также все значения, при которых $$\sin x=0,$$ то есть $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(x^2+8x+11\right)|\cos 2x|=4\cos 2x.$$

Рассмотрим случаи по знаку $$\cos 2x$$.

Если $$\cos 2x=0,$$ то уравнение выполняется.

Если $$\cos 2x>0,$$ то $$|\cos 2x|=\cos 2x,$$ и получаем

$$\left(x^2+8x+11\right)\cos 2x=4\cos 2x,$$

$$\cos 2x\left(x^2+8x+7\right)=0.$$

Так как $$\cos 2x>0,$$ то

$$x^2+8x+7=0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x+7\right)=0,$$

$$x=-1 \text{ или } x=-7.$$

Если $$\cos 2x<0,$$ то $$|\cos 2x|=-\cos 2x,$$ и тогда

$$-\left(x^2+8x+11\right)\cos 2x=4\cos 2x,$$

$$\cos 2x\left(x^2+8x+15\right)=0.$$

Так как $$\cos 2x<0,$$ то

$$x^2+8x+15=0,$$

$$\left(x+3\right)\left(x+5\right)=0,$$

$$x=-3 \text{ или } x=-5.$$

Кроме того, при $$\cos 2x=0$$ имеем

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=1,2,4,5.$$

б) $$x=-7,-5,-3,-1,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$