Упр.22.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) (8cosx-3)/(3cosx+2)=1 б) (3cosx+1)/2 + (5cosx-1)/3 = 1,75

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{8\cos x-3}{3\cos x+2}=1.$$

ОДЗ: $$3\cos x+2\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne -\frac23.$$

Умножим обе части на $$3\cos x+2$$:

$$8\cos x-3=3\cos x+2.$$

Перенесём слагаемые:

$$5\cos x=5,$$

откуда

$$\cos x=1.$$

Тогда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка ОДЗ выполнена: при $$\cos x=1$$ знаменатель не обращается в нуль.

б) Решим уравнение

$$\frac{3\cos x+1}{2}+\frac{5\cos x-1}{3}=1{,}75.$$

Умножим обе части на $$6$$:

$$3(3\cos x+1)+2(5\cos x-1)=10{,}5.$$

Раскроем скобки:

$$9\cos x+3+10\cos x-2=10{,}5.$$

$$19\cos x+1=10{,}5,$$

$$19\cos x=9{,}5,$$

$$\cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$