Упр.22.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) x2 |tg х| + 9 tg x = 0; б) x2 ctg x — 4 |ctg x| = 0.

а) Пусть $$y=\sin t$$. Тогда получаем неравенство

$$5y^2-11y-12>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=11^2+4\cdot 5\cdot 12=121+240=361,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 19}{10},$$

$$y_1=-\frac45,\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$\left(y+\frac45\right)(y-3)>0,$$

откуда с учётом $$-1\le \sin t\le 1$$ получаем

$$\sin t<-\frac45.$$

Решение неравенства для синуса:

$$\pi+\arcsin\frac45+2\pi n<t<2\pi-\arcsin\frac45+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть $$y=\sin t$$. Тогда

$$5y^2-11y-12\le 0.$$

Корни те же:

$$y_1=-\frac45,\qquad y_2=3.$$

Следовательно,

$$-\frac45\le y\le 3.$$

С учётом $$-1\le \sin t\le 1$$ получаем

$$\sin t\ge -\frac45.$$

Тогда

$$-\arcsin\frac45+2\pi n\le t\le \pi+\arcsin\frac45+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\pi+\arcsin\frac45+2\pi n<t<2\pi-\arcsin\frac45+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$-\arcsin\frac45+2\pi n\le t\le \pi+\arcsin\frac45+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$