Упр.22.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) |sin х\ = |cos х|; б) корень3 ctg x = 2|cos x|; в) |sin 2x| = |корень3 cos 2x| г) корень2 tg x + 2|sin x| = 0.
Рассмотрим уравнение $$|\sin x|=|\cos x|.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\sin^2 x=\cos^2 x.$$
Тогда
$$\sin^2 x-\cos^2 x=0,$$
$$-\cos 2x=0,$$
$$\cos 2x=0.$$
Отсюда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Решим уравнение $$\sqrt{3}\,\ctg x=2|\cos x|.$$
Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x},$$ то
$$\sqrt{3}\,\frac{\cos x}{\sin x}=2|\cos x|.$$
При $$\cos x=0$$ левая часть равна нулю, а правая тоже равна нулю, но $$\ctg x$$ не определён, значит такие значения не подходят. Поэтому $$\cos x\neq 0$$ и можно разделить на $$|\cos x|$$:
$$\sqrt{3}\,\frac{\operatorname{sgn}(\cos x)}{\sin x}=2.$$
Удобнее рассмотреть случаи по знаку $$\cos x$$.
1) Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и
$$\sqrt{3}\,\frac{\cos x}{\sin x}=2\cos x.$$
Так как $$\cos x\neq 0,$$ получаем
$$\sqrt{3}=2\sin x,$$
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
С учётом $$\cos x>0$$:
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и
$$\sqrt{3}\,\frac{\cos x}{\sin x}=-2\cos x.$$
Тогда
$$\sqrt{3}=-2\sin x,$$
$$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
С учётом $$\cos x<0$$:
$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Решим уравнение $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\sin^2 2x=3\cos^2 2x.$$
Если $$\cos 2x=0,$$ то правая часть равна нулю, а левая равна $$1,$$ что невозможно. Значит, $$\cos 2x\neq 0$$, и можно разделить на $$\cos^2 2x$$:
$$\tg^2 2x=3.$$
Следовательно,
$$\tg 2x=\pm\sqrt{3}.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Решим уравнение $$\sqrt{2}\,\tg x+2|\sin x|=0.$$
Перенесём второе слагаемое:
$$\sqrt{2}\,\tg x=-2|\sin x|.$$
Так как правая часть не положительна, то $$\tg x\le 0.$$ Кроме того, $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$, поэтому рассмотрим случаи.
1) Если $$\sin x=0,$$ то уравнение выполняется:
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin x\neq 0,$$ то разделим уравнение на $$|\sin x|$$:
$$\sqrt{2}\,\frac{\sin x}{\cos x}=-2,$$
$$\sqrt{2}\,\tg x=-2,$$
$$\tg x=-\sqrt{2}.$$
Тогда
$$x=-\arctan\sqrt{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ -\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\pi n \ \text{или}\ x=-\arctan\sqrt{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
